勾股生变图

 勾股生变十三名图^①。勾、股、弦并而为和，减而为较，等而为变为段，自乘为积为幂。有用而取，无用不取，立图而验之。

勾

股

弦

勾 股 较

勾 弦 较

股 弦 较

勾 股 和

勾 弦 和

股 弦 和

弦 较 和

弦 和 和

弦 和 较

弦 较 较

释 名

直 田 阔

直 田 长

田 两 隅 长

勾 减 股

勾 减 弦

股 减 弦

勾 共 股

勾 共 弦

股 共 弦

弦 与 勾 减 股 共

勾 股 共 弦

弦 减 勾 股 共 数

以 弦 减 勾 股 较

假 令 数

八

十 五

十 七

七

九

二

二 十 三

二 十 五

三 十 二

二 十 四

四 十

六

十

变 改

二 段

三 段

四 段

一 段

二 段

一 段

五 段

六 段

七 段

五 段

九 段

一

三 段

勾 股 较

一

一

一

一

一

一

二

二

二

股 弦 较

一

一

二

一

一

二

三

三

二

四

二

弦 和 较

一

一

一

二

二

二

一

三

一

一

自 乘 积 数

六 十 四

二 百 二 十 五

二 百 八 十 九

四 十 九

八 十 一

四

五 百 二 十 九

六 百 二 十 五

一 千 二 十 四

五 百 七 十 六

一 千 六 百

三 十 六

一 百

 

《九章算术·勾股》宋·贾宪细草
 (见《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法》)

 〔注〕①此指勾、股、弦的十三种简单的和差关系，设勾a,股b,弦c,则勾股较为b-a,勾弦较为c-a,股弦较为c-b,勾股和为c+b,勾弦和为c+a,股弦和为c+b,弦较和为c+(b-a),弦和和为(a+b)+c,弦和较为(a+b)-c,弦较较为c-(b-a)。“变改”即此十三事可变成勾股较、股弦较、弦和较的段数的恒等变换。如勾可以变成一股弦较与一弦和较，共二段：a=(c-b)+[(b+a)-c]。
 【评】此勾股生变十三名图包括了勾、股、弦三者所有的简单和差关系，较《九章算术》和刘徽有了较大发展，是为贾宪对这一课题的完满总结。