总体回归直线的估计

总体回归直线的估计

样本直线回归方程中，回归系数b和截距a是总体回归系数β和截距a^*(注意勿与检验水准a相混)的估计值。即使实验条件不变，b与a也会有抽样波动。同理，样本回归值 Ŷ 及变量值Y亦有抽样波动。 为了说明回归方程的稳定性，就须对β、 a^*和μŶ（总体回归值）、Y作出区间估计，也就是对总体回归直线作出区间估计。β及a^*的区间估计 方法步骤如下：
(1) 计算样本直线回归方程，并作假设检验 (见条目“直线回归”)。若认为存在直线关系，则作区间估计，否则不必进行。
(2) 分别按式(1) 及式(2) 计算回归系数b的标准误sb及截距a的标准误sa。

式中s_Y·X 为剩余标准差，l_XX为变量X的离均差平方和，n为样本含量，为样本均数。
(3)查t界值表得t_a(n-2)值，分别按式(3)及式(4)计算可信度为1-a时，β及^a*的可信区间：
β为 (b-t_a(n-2)^sb,b+t_a(n-2)^sb),(3)
a*为 (a-t_a(n-2)^sa,a+t_a(n-2)^sa)。(4)可信度相同时，s_b与s_a愈小，β与a^*的可信区间就愈小，回归方程就稳定。在实际使用回归方程时，愈稳定愈好。
μŶ及Y的区间估计 方法步骤如下：
(1) 同β及a^*的区间估计步骤(1)。
(2)按观察值X的范围，选定若干X_i值，列出计算表（如下表）。 将X_i代入回归方程求得的回归值Ŷ_i是与X_i相应的个体值Y_i的均数，而Yi值分布在均数Y_i的上下，Ŷi的标准误sŶi(简记为sŶ)按式(5)计算，

理论上，Y_i服从以μ(未知时，以Ŷi作为估计值)为均数，σY_i [未知时，以sY_i (简记为sY)作为估计值]为标准差的正态分布。sY按式(6)计算，

当n相当大， Xi离较近时，sY≐sY·X。
(3)查t界值表得ta(n-2)值，分别按式(7)计算可信度为1-a时，μŶ的可信区间；按式(8)计算Y的1-a容许区间。
μŶ的可信区间为 (Ŷ-ta(n-₂)sŶ, Ŷ+ta(n-2)sŶ), (7)Y的容许区间为 (Ŷ-t_a(n-₂)sY, Ŷ+t_a(n-₂)sY)。 (8)式(8)算出的容许区间，医学上常用作给定X值时，相应Y值的正常值范围。 若n相当大，x_i离较近时，则此范围近似的为

(4)绘回归直线， 并将上述求得的各X值对应的μŶ、Y区间的上限值、下限值画四条曲线 （注意不是直线），如图。 离回归直线近的两条曲线间是 μŶ的1-a可信区间，即总体回归直线的可能范围； 两条虚线间是各X值相应的Y值的1-a容许区间。理论上有5%的点子在两条虚线以外和正好落在线上。
例 某地18～25岁女青年50人的体重与体表面积资料（见图）的初步计算结果如下：

经直线回归方程的假设检验，体重与体表面积之间存在直线关系。试估计总体回归系数β与总体回归值μŶ的95%可信区间，以及个体值Y的95%容许区间。
求β的95%可信区间。今a=0.05,n=50,v=50-2=48，查t界值表，t0.05(50-2) = 2.011，由式(3)得
(0.01547-2.011×0.00097,0.01547+2.011×0.00097)=(0.0135,0.0174)。
故β的95%可信区间为0.0135～0.0174m²/kg。
求μŶ的95%可信区间与Y的95%容许区间。 选定Xi值，计算如表。
μŶ的可信区间及Y的容许区间的计算

Xi (1)	Xi- (2)	Ŷi (3)	SŶi (4)	Ŷi±t0.05(48)SŶi		SYi (7)	Ŷi±t0.05(45)SYi
				下 限 (5)	上 限 (6)		下 限 (8)	上 限 (9)
40 42 44 ⋮	-12.56 -10.56 -8.56 ⋮	1.2544 1.2854 1.3163 ⋮	0.0132 0.0114 0.0097 ⋮	1.2279 1.2625 1.2968 ⋮	1.2809 1.3083 1.3358 ⋮	0.0377 0.0372 0.0367 ⋮	1.1786 1.2106 1.2425 ⋮	1.3302 1.3602 1.3901 ⋮
52 ⋮	-0.56 ⋮	1.4400 ⋮	0.0050 ⋮	1.4299 ⋮	1.4501 ⋮	0.0357 ⋮	1.3682 ⋮	1.5118 ⋮
60 62 64	7.44 9.44 11.44	1.5638 1.5947 1.6257	0.0088 0.0104 0.0122	1.5461 1.5738 1.6012	1.5815 1.6156 1.6502	0.0365 0.0369 0.0374	1.4904 1.5205 1.5505	1.6372 1.6689 1.7009

如表中第一横行数字的计算过程为
X_i＝40, X_i-＝40-52.56=-12.56,Ŷ_i＝0.63560+0.01547 × 40=1.2544。
按式(5)～(8)得

μŶi的95%可信区间为
(1.2544-2.011 × 0.0132,1.2544 +2.011×0.0132)=(1.2279,1.2809)。Y_i的95%容许区间为(1.2544-2.011 × 0.0377,1.2544 +2.011 × 0.0377)=(1.1786,1.3302)。
其余横行的计算仿此。
分别将表中第(1)、(5)栏，第(1)、(6)栏；第(1)、(8)栏，第(1)、9)栏数据标在方格坐标纸上，得图中四条曲线。实线范围内为uŶ的95%可信区间，虚线范围内为该地18～25岁女青年体表面积个体值的95%容许区间。

uŶ的95%可信区间与Y的95%容许区间

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